传动轴的截面做成圆形的力学分析

为什么传动轴的截面做成圆形？今天就从技术角度来分析一下。

1.扭转的力学分析

1.扭曲的形式

(1)扭矩符号的约定

(2)圆形截面杆件的扭转变形

圆轴扭转后，横截面保持平直，形状和大小不变，半径保持为轴，各横截面只相对转动微小的角度γ。

(3)非圆截面杆件的扭转

自由扭转:当杆件截面为非圆形时，扭转变形时截面会翘曲，相邻截面的翘曲程度相同，所以所有纵向纤维的长度不会发生变化，截面上不会有正应力而是剪应力。自由扭转只有在等直杆两端受外扭矩时才能实现，相邻截面的翘曲不受外界条件约束。

扭转:当不等直杆扭转时，扭矩沿杆长变化，或端面受约束自由翘曲，相邻截面翘曲程度不同，截面上不仅有剪应力，还有正应力。实心截面杆中由约束扭转引起的正应力通常很小，可以忽略不计。然而，对于薄壁截面，法向应力太大，不能忽略。

2.基本假设

(1)平面假说

扭转后，圆形截面保持平坦，其形状和尺寸保持不变，其半径保持不变，截面仅相对旋转微小的角度γ。这个假设只对圆形截面轴有效，对非圆形截面轴无效。

相邻截面之间的距离不变，截面上除τzx=τzy外无正应力；σx=σy=σz=τxy=0 .

(2)电影类比

普朗特指出，薄膜(液膜)在均匀压力下的垂度在数学上类似于等截面直杆扭转问题中的应力函数。扭杆与薄膜对比有助于解决扭转问题。如图5所示，在水平边界上有一个均匀的薄膜被拉伸。水平边界与扭力杆的横截面边界具有相同的形状和大小。当薄膜受到小的均匀压力时，薄膜的每个点都会产生小的凹陷。如果边界所在的平面是xy平面，则垂度为z，由于薄膜的柔性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，只承受均匀的拉力FT(类似于液膜的表面张力)。根据分析，扭杆横截面上某一点任意方向的剪应力等于对应点处薄膜的垂直斜率。可以看出，扭杆横截面上的最大剪应力等于薄膜的最大斜率。但需要注意的是，最大剪应力方向和最大斜率方向是相互垂直的。使用这种假设，具有非圆形横截面的直杆的最大剪应力和相对扭转角可以在下面的表1中获得。

3.扭转剪应力和扭转角的计算

(1)实心圆轴

在假设1和假设2的条件下，塑性材料在纯剪切下的力学性质为:τ=Gγ，γ为剪切应变；γ=φR/L(γ是距离为L的两段的相对扭转角；φ为扭转端的端面角度，R为圆的外半径，L为两段之间的距离)。

在相同的扭矩下，τ τ τ与τ成正比，即τ越大，τ越大。当ρ = r时，得到圆形截面边缘的最大剪应力。由于R和IP都是只与截面几何形状有关的量，所以可以表示为Wp=IP/R，称为圆轴的扭转截面模量，所以τmax=T/WP。可以看出，杆的扭转剪应力与其横截面积没有直接关系。圆形截面实心轴的扭转系数WP≈0.2D3。

圆棒扭转时的扭转角φ，GIP是圆截面的扭转刚度，反映了轴抵抗变形的能力。距离为L的两个截面的相对扭转角为:

(2)空心圆轴

空心轴的截面扭转系数约为:WP≈0.2D3(1-α4)，0

(3)封闭薄壁管

对于圆管，当圆管的壁厚δ远小于半径R0(一般认为≤R0/10)时，称为薄壁圆管。这种管件可以是等截面的任何形状。因为是薄壁管，所以可以假设剪应力均匀分布在整个壁厚(T)上，可以得到近似解。根据剪应力的互易性，可以得出管段上所有点的平均轴向剪应力等于管壁的乘积，即剪流Q相等。因为Q值在整个截面上是恒定的，所以剪应力在最小壁厚处最大。当管道截面为圆形时，AM = π r0，增大圆柱体直径可以大大降低剪应力值。

二、扭转破坏形式

1.破坏顺序

在扭转试验中，试样横截面上的应力分布是不均匀的，表面最大，向中心方向较小。所以在扭转时，材料的破坏是由外向内的，裂纹首先从圆杆的最外层开始。在工程中，扭转试验常用于检查材料的表面缺陷和表面硬化层的性能。如图7所示。

2.塑料材料

对于低碳钢等塑性材料制成的圆轴，在扭转过程中轴的表面首先屈服，随着扭转变形的增大，圆周最终沿截面剪切。由于材料的抗剪能力低于抗拉能力，且在截面上具有最大剪应力，所以断裂发生在截面上，表现为剪切破坏。工程中，截面外缘的最大剪应力达到材料的剪切屈服极限τs为危险状态，并以此为基础建立强度条件。而当边缘的剪应力达到屈服极限时，其他部分仍处于线弹性工作状态，圆棒不会有明显的塑性变形，即扭矩可以继续增大。当考虑材料的塑性时，实心圆棒的极限扭矩(塑性扭矩)比屈服扭矩大1/3(工程简化计算结果)。当截面边缘的剪应力达到材料的剪切屈服极限τs时，随着扭转偶矩的增大，塑性区逐渐向内扩展，截面边缘的材料开始强化。如果扭转力偶继续增加，裂纹将首先从圆棒的最外层开始，最后沿横截面被剪切。如图8所示。

3.脆性材料

由抗拉强度低于抗剪强度的脆性材料(如铸铁)制成的圆轴在扭转破坏时，变形很小，在与轴线成45°左右倾角的螺旋面上断裂。因为在与轴线成135°的斜面上有最大拉应力，当这个截面上的最大拉应力超过材料的抗拉强度极限时，这个截面上就会发生拉伸破坏。如图9所示。

4.原木的扭转破坏

圆木杆的内扭矩T不仅在截面上产生一个径向线性剪应力，而且在轴向平面上也产生一个相应的剪应力，导致轴向平面上的开裂。由于木材是各向异性材料，轴向平行于纤维的剪切力比垂直于纤维横截面的剪切力小得多，因而呈现如图10所示的开裂形式。

三。轴的扭转设计

1.不同截面杆件的扭转性能

根据弹性理论分析，正方形截面、三角形截面和椭圆形截面的最大应力和扭转角的计算公式如图所示。在所有情况下，最大剪应力存在于截面边界线上最靠近中心轴的位置。从封闭薄壁管的角度来看，相对于中心轴线最薄的位置剪应力最大。

设圆、正方形、正三角形、椭圆的面积都为S，受的力矩t相同，那么，正方形的边长为a=S 1/2，正三角形的边长为a≈2.3S 1/2。从图中给出的最大应力计算公式可以看出，在相同的截面积和扭矩下，正三角形截面上的最大剪应力约为正方形的1.8倍；对于椭圆，当a=b时为圆形，a=0.56S 1/2时，正方形的最大剪应力约为圆形的1.32倍；当a≠b为椭圆，且1 > b/a = λ > 0时，椭圆的最大剪应力与圆的最大剪应力之比为λS -2，因此λ越小，其剪应力比圆的大。

通过以上比较可以得出，在相同的截面和相同的扭矩下，圆形截面上的最大剪应力最小，扭转角小于非圆形截面的轴。所以把传动轴做成圆形，在抗扭方面有天然的比较优势。将上述结果推广到任意截面，可以证明圆形截面轴的效率最高[5]。

2.根据扭矩估计轴的直径。

当重要官的长度和跨度未确定时，无法得到支座反力和弯矩。对于多支点或不重要的轴，通常根据轴所承受的扭矩来估算轴径，如表1所示。a是与材料有关的系数，可从参考文献[7]中得到。

3.管轴

这是由于在扭转载荷下圆形横截面轴的大表面剪切应力和相对小的芯部。因此，通过去除未充分发挥其作用的部分芯材，可以有效地减轻轴的重量并提高轴的弯曲性能。但是，轴类零件是否一定要做成空心的，不仅需要力学上的考虑，还需要工艺性和制造成本。同时，壁厚不能太薄，否则会出现局部褶皱，失去承载能力。当圆柱体的壁厚δ远小于半径R0(一般认为≤R0/10)时，称为薄壁圆柱体。然而，如果薄壁管具有沿轴线的纵向开口，其扭转性能将显著降低。因此，通常采用增加隔板等措施来提高其抗扭刚度和强度。

4.应力集中

轴通常由不同的部分组成。在截面过渡位置，空间的突变会引起应力集中，这也是轴类零件常见的失效形式。如何选择和确定两个相邻截面的大直径和过渡圆角可在参考文献[7，8]中找到。

5.圆柱螺旋弹簧

圆柱弹簧是机械工程中的一种常见零件。其基本特征是弹性变形大，轴呈螺旋状。在设计中，通常考虑负载大的弹簧的强度；但一般考虑弹簧在小载荷下的变形；一般来说，不重要的弹簧只需要根据结构尺寸来选择。弹簧的设计计算方法见参考文献[8]，也见GB/T1239系列标准、GB/T2089、DIN2089等标准。

四。材料的剪切和拉伸性能

在静载荷作用下，材料在扭转和拉伸时的力学性能有一定的关系，所以许用剪应力[τ]由材料的[σ]决定:

从上表可以看出，文献[1，2]中给出的剪应力与正应力的关系是不同的。根据文献[2]提供的几种塑性材料的剪应力与正应力之比，0.5~0.7[σ]较为合适，在没有确切的剪应力数据时，上述关系只是一个粗略的估计。如果要进行精确的检查，有必要获得材料的比扭转强度。